Precalcolo Esempi

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 4.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 4.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + 2 - 1$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$1 - 1$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(- 4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Passaggio 6.7

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$(- 4) x + 2$

Passaggio 6.8

Semplifica il polinomio quoziente.

$- 4 x + 2$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $- 4 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $- 1$ da $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 8.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi il polinomio.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 8.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 9

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.2.2

Dividi ${(2 x - 1)}^{2}$ per $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 10

Poni $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 11.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 12