Precalcolo Esempi

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(3)}^{4} - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$4 \cdot 81 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $81$ .

$324 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$324 - 22 \cdot 27 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 22$ per $27$ .

$324 - 594 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$324 - 594 + 38 \cdot 9 - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $38$ per $9$ .

$324 - 594 + 342 - 44 \cdot 3 + 60$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 44$ per $3$ .

$324 - 594 + 342 - 132 + 60$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $594$ da $324$ .

$- 270 + 342 - 132 + 60$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 270$ e $342$ .

$72 - 132 + 60$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $132$ da $72$ .

$- 60 + 60$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 60$ e $60$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 22)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$	$- 10$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 10)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 30)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(38)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$	$8$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(24)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 44)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 20)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 60)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(60)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (8) x - 20$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 10 x^{2} + 8 x - 20)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 10 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 8 x - 20)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) - 20)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10))$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 10))$

Passaggio 8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 10))$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)))$

Passaggio 9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 5$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 5) (x^{2} + 2)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (2 (2 x - 5) (x^{2} + 2))$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $2$ da $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $2$ da $38 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) - 44 x + 60 = 0$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $2$ da $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 60 = 0$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $2$ da $60$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Passaggio 10.1.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Passaggio 10.1.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Passaggio 10.1.8

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30) = 0$

Passaggio 10.1.9

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x + 30) = 0$

Passaggio 10.2

Raggruppa i termini.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $- 11 x$ da $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Passaggio 10.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Passaggio 10.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 u + 30) = 0$

Passaggio 10.6

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 30 = 60$ e la cui somma è $b = 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1.1

Scomponi $19$ da $19 u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 (u) + 30) = 0$

Passaggio 10.6.1.2

Riscrivi $19$ come $4$ più $15$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 15) u + 30) = 0$

Passaggio 10.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Passaggio 10.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Passaggio 10.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 15 (u + 2)) = 0$

Passaggio 10.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u + 2$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 15)) = 0$

Passaggio 10.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Passaggio 10.8

Scomponi $x^{2} + 2$ da $- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Scomponi $x^{2} + 2$ da $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Passaggio 10.8.2

Scomponi $x^{2} + 2$ da $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 15)) = 0$

Passaggio 10.9

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 u + 2 u^{2} + 15)) = 0$

Passaggio 10.10

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Riordina i termini.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Passaggio 10.10.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e la cui somma è $b = - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.2.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Passaggio 10.10.2.2

Riscrivi $- 11$ come $- 5$ più $- 6$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15)) = 0$

Passaggio 10.10.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15)) = 0$

Passaggio 10.10.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 5 u) - 6 u + 15)) = 0$

Passaggio 10.10.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((x^{2} + 2) (u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5))) = 0$

Passaggio 10.10.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 5$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u - 5) (u - 3))) = 0$

Passaggio 10.11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.11.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Passaggio 10.11.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 10.11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 12.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 13

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 14

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 3$

Passaggio 16