Precalcolo Esempi

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 22$ per $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $36$ per $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 44$ per $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $176$ da $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 112$ e $144$ .

$32 - 88 + 56$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $88$ da $32$ .

$- 56 + 56$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 56$ e $56$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 14)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 28)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 28)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 56)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 14 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 28$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Passaggio 8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Passaggio 9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $2$ da $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $2$ da $36 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $2$ da $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $2$ da $56$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Passaggio 10.1.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Passaggio 10.1.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Passaggio 10.1.8

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Passaggio 10.1.9

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Passaggio 10.2

Raggruppa i termini.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3} - 22 x$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $- 11 x$ da $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Passaggio 10.4

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

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Passaggio 10.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Passaggio 10.4.2

Scomponi $2$ da $18 x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Passaggio 10.4.3

Scomponi $2$ da $28$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Passaggio 10.4.4

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Passaggio 10.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Passaggio 10.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Passaggio 10.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Passaggio 10.7

Scomponi $u^{2} + 9 u + 14$ usando il metodo AC.

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Passaggio 10.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $14$ e la cui somma è $9$ .

$2, 7$

Passaggio 10.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Passaggio 10.8

Scomponi.

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Passaggio 10.8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Passaggio 10.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Passaggio 10.9

Scomponi $x^{2} + 2$ da $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

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Passaggio 10.9.1

Scomponi $x^{2} + 2$ da $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Passaggio 10.9.2

Scomponi $x^{2} + 2$ da $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Passaggio 10.9.3

Scomponi $x^{2} + 2$ da $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Passaggio 10.10

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Passaggio 10.11

Moltiplica $2$ per $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Passaggio 10.12

Riordina i termini.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Passaggio 10.13

Scomponi.

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Passaggio 10.13.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.13.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 10.13.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 10.13.1.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Passaggio 10.13.1.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 4$ più $- 7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Passaggio 10.13.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Passaggio 10.13.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.13.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Passaggio 10.13.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Passaggio 10.13.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Passaggio 10.13.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Passaggio 10.13.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Passaggio 12.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 12.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 13

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 14

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi $2 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 7$

Passaggio 14.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 14.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ vera.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Passaggio 16