Precalcolo Esempi

$2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$0$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 0$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

Passaggio 4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 12 \cdot 0 + 10 (0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 + 0 + 10 (0)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $10$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $0$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 0$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}{x + 0}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$
	$2$	$12$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(10)$ .

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$12$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(10)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 12 x + 10$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 12 x + 10$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (x^{2}) + 12 x + 10)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $12 x$ .

$(x + 0) (2 (x^{2}) + 2 (6 x) + 10)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$(x + 0) (2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot 5)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (6 x)$ .

$(x + 0) (2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot 5)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot 5$ .

$(x + 0) (2 (x^{2} + 6 x + 5))$

Passaggio 8

Scomponi.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} + 6 x + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 0) (2 ((x + 1) (x + 5)))$

Passaggio 8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 0) (2 (x + 1) (x + 5))$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$ .

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Passaggio 9.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 10 x = 0$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $2 x$ da $12 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 10 x = 0$

Passaggio 9.1.3

Scomponi $2 x$ da $10 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 2 x (5) = 0$

Passaggio 9.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (6 x)$ .

$2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (5) = 0$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (5)$ .

$2 x (x^{2} + 6 x + 5) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi.

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $x^{2} + 6 x + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 9.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 x ((x + 1) (x + 5)) = 0$

Passaggio 9.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (x + 1) (x + 5) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 12

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 13

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x + 1) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, - 5$

Passaggio 15