Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $9$ .

$4, 5$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = - 4, - 5$

Passaggio 7

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 9$

Passaggio 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 9

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 10

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 10.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 10.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 11

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 4, - 5$

$x = 3, - 3$

Passaggio 12

Consolida le soluzioni.

$x = - 4, - 5, 3, - 3$

Passaggio 13

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ .

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Passaggio 13.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 9$

Passaggio 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 13.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 13.2.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 13.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 13.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 13.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 13.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 13.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 13.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 14

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - 9} > 0$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $0.2\overline{18}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4.5$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - 9} > 0$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $- 0.0\overline{2}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3.5$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $- 3.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} + 9 (- 3.5) + 20}{{(- 3.5)}^{2} - 9} > 0$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $0.\overline{230769}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - 9} > 0$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $- 2.\overline{2}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 15.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} + 9 (6) + 20}{{(6)}^{2} - 9} > 0$

Passaggio 15.5.3

Il lato sinistro di $4.\overline{074}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 15.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $- 4 < x < - 3$ o $x > 3$

Passaggio 17

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 5) \cup (- 4, - 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 18