Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - x - 42$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 42$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 7, 6$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 7, - 6$

Passaggio 7

Scomponi $x^{2} - 13 x + 42$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $42$ e la cui somma è $- 13$ .

$- 7, - 6$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 10

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 7, 6$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Passaggio 14

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi $x^{2} - 13 x + 42$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $42$ e la cui somma è $- 13$ .

$- 7, - 6$

Passaggio 14.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Passaggio 14.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 14.2.3

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 14.2.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 14.2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 14.2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 14.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 7, 6$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 15

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{142857}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $6 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $6 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6.5$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $6.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $25$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Vero

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Vero

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 6$ o $6 < x < 7$ o $x > 7$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 19