Precalcolo Esempi

$- x^{3} - 5 x^{2} > - 8 x - 12$

Passaggio 1

Aggiungi $8 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x > - 12$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x = - 12$

Passaggio 3

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- - 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.6

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 8 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 4 - 8 + 12$

Passaggio 4.1.3.8

Sottrai $8$ da $- 4$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 4.1.3.9

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5

Dividi $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$12$

Passaggio 4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 4 x$

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Passaggio 4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 12$

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Passaggio 4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - 4 x + 12$

Passaggio 4.1.6

Scrivi $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $2$ più $- 6$ .

$(x + 1) (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Passaggio 4.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$(x + 1) ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Passaggio 4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 8

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$ vera.

$x = - 1, 2, - 6$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$- {(- 8)}^{3} - 5 {(- 8)}^{2} > - 8 \cdot - 8 - 12$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $192$ è maggiore del lato destro di $52$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$- {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} > - 8 \cdot - 4 - 12$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 16$ non è maggiore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} > - 8 \cdot 0 - 12$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ è maggiore del lato destro di $- 12$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$- {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} > - 8 \cdot 4 - 12$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $- 144$ non è maggiore del lato destro di $- 44$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 6$ o $- 1 < x < 2$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 6) \cup (- 1, 2)$

Passaggio 14