Precalcolo Esempi

$x^{4} - 45 x^{2} + 324 < 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - 45 u + 324 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi $u^{2} - 45 u + 324$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $324$ e la cui somma è $- 45$ .

$- 36, - 9$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 36) (u - 9) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 9 = 0$

Passaggio 4

Imposta $u - 36$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $u - 36$ uguale a $0$ .

$u - 36 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 36$

Passaggio 5

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 9$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 36) (u - 9) = 0$ vera.

$u = 36, 9$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 36$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 36$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 6$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 6$

Passaggio 9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 6$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 6, - 6$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 9$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 12

La soluzione di $x^{4} - 45 x^{2} + 324 = 0$ è $x = 6, - 6, 3, - 3$ .

$x = 6, - 6, 3, - 3$

Passaggio 13

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

${(- 8)}^{4} - 45 {(- 8)}^{2} + 324 < 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $1540$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2} + 324 < 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 140$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{4} - 45 {(0)}^{2} + 324 < 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $324$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2} + 324 < 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $- 140$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{4} - 45 {(8)}^{2} + 324 < 0$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $1540$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 6 < x < - 3$ o $3 < x < 6$

Passaggio 16

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 6, - 3) \cup (3, 6)$

Passaggio 17