Precalcolo Esempi

$x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16 < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 26 \cdot 1 - 16$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 11 \cdot 1^{2} + 26 \cdot 1 - 16$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 11 \cdot 1 + 26 \cdot 1 - 16$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$1 - 11 + 26 \cdot 1 - 16$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $11$ da $1$ .

$- 10 + 26 \cdot 1 - 16$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $26$ per $1$ .

$- 10 + 26 - 16$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $- 10$ e $26$ .

$16 - 16$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16}{x - 1}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$16$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 10 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 10 x^{2} + 10 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$26 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 10 x + 16$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 11 x^{2} + 26 x - 16$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} - 10 x + 16) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} - 10 x + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2} - 10 x + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $16$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 8, - 2$

Passaggio 2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 8) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 8) (x - 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 8) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 1, 8, 2$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} - 11 {(0)}^{2} + 26 (0) - 16 < 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 16$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

${(1.5)}^{3} - 11 {(1.5)}^{2} + 26 (1.5) - 16 < 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $1.625$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 26 (5) - 16 < 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 36$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

${(10)}^{3} - 11 {(10)}^{2} + 26 (10) - 16 < 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $144$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Vero

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

$x < 1$ Vero

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 1$ o $2 < x < 8$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 1) \cup (2, 8)$

Passaggio 12