Precalcolo Esempi

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$x {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x {(x + 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) < 0$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $- 54$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) < 0$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} + 9 (2) < 0$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $50$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 3$ o $- 3 < x < 0$

Passaggio 10

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$

Passaggio 11