Precalcolo Esempi

$\frac{4}{x - 4} > \frac{4}{x + 2}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{4}{x + 2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x + 2} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x + 2}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{4}{x - 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{4}{x + 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 4) (x + 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{4}{x - 4}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{4}{x + 2}$ per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{4 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (x + 2) - 4 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $4$ da $4 (x + 2) - 4 (x - 4)$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 (x - 4)$ .

$\frac{4 (x + 2) + 4 (- (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $4$ da $4 (x + 2) + 4 (- (x - 4))$ .

$\frac{4 (x + 2 - (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x + 2 - x - - 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{4 (x + 2 - x + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{4 (0 + 2 + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.5

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{4 (2 + 4)}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.5.6

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 2.6

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{24}{(x + 2) (x - 4)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 2$

$x = 4$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = - 2, 4$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{24}{(x + 2) (x - 4)}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{24}{(x + 2) (x - 4)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 2) (x - 4) = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 8.2.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 8.2.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 8.2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 8.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 2, 4$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(- 4) - 4} > \frac{4}{(- 4) + 2}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ è maggiore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(0) - 4} > \frac{4}{(0) + 2}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(6) - 4} > \frac{4}{(6) + 2}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 4$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Passaggio 13