Precalcolo Esempi

$\frac{1}{x - 2} < \frac{2}{3 x - 9}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{3 x - 9}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $3$ da $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x) - 9} < 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x + 3 \cdot - 3} < 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{1}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{2}{3 (x - 3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 2) \cdot 3 (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 2}$ per $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3 (x - 3)}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x - 2) (3 (x - 3))$ .

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori di $3 (x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (x - 3) - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x - 9 - 2 x - 2 \cdot - 2}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{3 x - 9 - 2 x + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6.5

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$\frac{x - 9 + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 2.6.6

Somma $- 9$ e $4$ .

$\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 5$

$x = 2$

$x = 3$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 5, 2, 3$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 (x - 2) (x - 3) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 2) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 2, 3$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(0) - 2} < \frac{2}{3 (0) - 9}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ è minore del lato destro di $- 0.\overline{2}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(2.5) - 2} < \frac{2}{3 (2.5) - 9}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $2$ non è minore del lato destro di $- 1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(4) - 2} < \frac{2}{3 (4) - 9}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0.5$ è minore del lato destro di $0.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(8) - 2} < \frac{2}{3 (8) - 9}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.1\overline{6}$ non è minore del lato destro di $0.1\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 2$ o $3 < x < 5$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 2) \cup (3, 5)$

Passaggio 14