Precalcolo Esempi

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1

Semplifica $4 x (x - 2)$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.4.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Passaggio 2

Semplifica $(2 x - 1) (x - 3)$ .

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Passaggio 2.1

Espandi $(2 x - 1) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $x$ da $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Passaggio 3.2

Aggiungi $7 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Passaggio 3.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Passaggio 3.4

Somma $- 8 x$ e $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Passaggio 4

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} - x = 3$

Passaggio 5

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Passaggio 6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi $- 1$ come $2$ più $- 3$ .

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 8

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $96$ non è minore del lato destro di $63$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $32$ non è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Vero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Vero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Passaggio 15