Precalcolo Esempi

$2 x > \frac{4}{x + 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{4}{x + 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x - \frac{4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $2 x - \frac{4}{x + 1}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (x + 1) - 4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $2$ da $2 x (x + 1) - 4$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) - 4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x (x + 1) - 2)}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.3.5

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 2.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 2))}{x + 1} > 0$

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 1, - 2, - 1$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 4) > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 8$ non è maggiore del lato destro di $- 1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.5$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 1.5) > \frac{4}{(- 1.5) + 1}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è maggiore del lato destro di $- 8$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 (0) > \frac{4}{(0) + 1}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ non è maggiore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 (4) > \frac{4}{(4) + 1}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $0.8$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 < x < - 1$ o $x > 1$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 2, - 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 14