Precalcolo Esempi

$\frac{21}{x - 6} > \frac{18}{x - 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{18}{x - 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{21}{x - 6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{18}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 6) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{21}{x - 6}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{18}{x - 1}$ per $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 1) (x - 6)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{21 (x - 1) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $3$ da $21 (x - 1) - 18 (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $3$ da $21 (x - 1)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $3$ da $- 18 (x - 6)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))$ .

$\frac{3 (7 (x - 1) - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (7 x + 7 \cdot - 1 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.6

Sottrai $6 x$ da $7 x$ .

$\frac{3 (x - 7 + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 2.5.7

Somma $- 7$ e $36$ .

$\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 29 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $29$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 29$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 29$

$x = 1$

$x = 6$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = - 29, 1, 6$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x - 1) (x - 6) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 1, 6$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 29$

$- 29 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 29$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 29$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 32$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 32$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{21}{(- 32) - 6} > \frac{18}{(- 32) - 1}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.55263157$ non è maggiore del lato destro di $- 0.\overline{54}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 29 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 29 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{21}{(0) - 6} > \frac{18}{(0) - 1}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 3.5$ è maggiore del lato destro di $- 18$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{21}{(4) - 6} > \frac{18}{(4) - 1}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 10.5$ non è maggiore del lato destro di $6$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{21}{(8) - 6} > \frac{18}{(8) - 1}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $10.5$ è maggiore del lato destro di $2.\overline{571428}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 29$ Falso

$- 29 < x < 1$ Vero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

$x < - 29$ Falso

$- 29 < x < 1$ Vero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 29 < x < 1$ o $x > 6$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 29, 1) \cup (6, \infty)$

Passaggio 14