Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 1}{x} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 1, - 1$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 1, - 1$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 8.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{- 4} < 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 3.75$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} - 1}{- 0.5} < 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $1.5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0.5)}^{2} - 1}{0.5} < 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 1.5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} < 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $3.75$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$ o $0 < x < 1$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

Passaggio 13