Precalcolo Esempi

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Passaggio 1

Scrivi $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Riscrivi $7$ come $- 3$ più $10$ .

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Passaggio 1.2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 1.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.1.3

Il lato sinistro di $57$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.3.3

Il lato sinistro di $45$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Vero

Passaggio 1.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 5$ o $x \geq \frac{3}{2}$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui $2 x^{2} + 7 x - 15$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Passaggio 1.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Passaggio 1.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Passaggio 1.5.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi $7$ come $- 3$ più $10$ .

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Passaggio 1.5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Passaggio 1.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Passaggio 1.5.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 1.5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 1.5.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 1.5.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 1.5.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.5.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 1.5.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 1.5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Passaggio 1.5.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Passaggio 1.5.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 1.5.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Passaggio 1.5.8.1.3

Il lato sinistro di $57$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.5.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.5.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Passaggio 1.5.8.2.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.5.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.5.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Passaggio 1.5.8.3.3

Il lato sinistro di $45$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.5.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Vero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Vero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Passaggio 1.5.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Passaggio 1.6

Nella parte in cui $2 x^{2} + 7 x - 15$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Passaggio 1.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Passaggio 1.8

Semplifica $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ dove $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Passaggio 2.1.1.2

Sottrai $10$ da $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Passaggio 2.1.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Passaggio 2.1.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.1.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 7$ e $c = - 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.5.1.3

Somma $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.6.1.3

Somma $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.6.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.6.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Passaggio 2.1.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Passaggio 2.1.6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.7.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.7.1.3

Somma $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.7.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.7.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Passaggio 2.1.7.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Passaggio 2.1.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.8

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.1.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 2.1.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Passaggio 2.1.10.1.3

Il lato sinistro di $57$ non è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.1.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.1.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Passaggio 2.1.10.2.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.1.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 2.1.10.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Passaggio 2.1.10.3.3

Il lato sinistro di $70$ non è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.1.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Vero

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Vero

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

Passaggio 2.1.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 2.2

Trova l'intersezione di $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ o $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 3

Risolvi $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ dove $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai $10$ da $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Passaggio 3.1.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Passaggio 3.1.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.1.4

Sostituisci i valori $a = - 2$ , $b = - 7$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.5.1.2.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.5.1.3

Somma $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Passaggio 3.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.6.1.2.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.6.1.3

Somma $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Passaggio 3.1.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.7.1.2.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.7.1.3

Somma $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Passaggio 3.1.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.8

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.1.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 7$

Passaggio 3.1.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 7$ nella diseguaglianza originale.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Passaggio 3.1.10.1.3

Il lato sinistro di $- 34$ è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.1.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Passaggio 3.1.10.2.3

Il lato sinistro di $15$ non è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.1.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 3.1.10.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Passaggio 3.1.10.3.3

Il lato sinistro di $- 24$ è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Vero

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Vero

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Vero

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Vero

Passaggio 3.1.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 3.2

Trova l'intersezione di $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ o $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Passaggio 5

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Passaggio 6