Precalcolo Esempi

$f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Passaggio 1

Scrivi $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ come un'equazione.

$y = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = 26 \cdot e^{0.5 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ .

$26 \cdot e^{0.5 y} = t$

Passaggio 3.2

Dividi per $26$ ciascun termine in $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $26$ ciascun termine in $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ .

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $e^{0.5 y}$ per $1$ .

$e^{0.5 y} = \frac{t}{26}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{0.5 y}) = \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{0.5 y})$ spostando $0.5 y$ fuori dal logaritmo.

$0.5 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$0.5 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 3.5

Dividi per $0.5$ ciascun termine in $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $0.5$ ciascun termine in $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ .

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $0.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $0.5$ da $0.5$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5 (1)}$

Passaggio 3.5.3.3

Frazioni separate.

$y = \frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Passaggio 3.5.3.4

Dividi $1$ per $0.5$ .

$y = 2 \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Passaggio 3.5.3.5

Dividi $\ln (\frac{t}{26})$ per $1$ .

$y = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ è l'inverso di $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (t))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $e^{0.5 t}$ per $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (e^{0.5 t})$

Passaggio 5.2.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $0.5 t$ dall'esponente.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \ln (e))$

Passaggio 5.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t)$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $2 (0.5 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $0.5$ per $2$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 1 t$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = t$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (t))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (2 \ln (\frac{t}{26}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 (2 \ln (\frac{t}{26}))}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica $2 \ln (\frac{t}{26})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})$ spostando $0.5$ all'interno del logaritmo.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{\ln ({({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5})}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {(\frac{t}{26})}^{2 \cdot 0.5}$

Passaggio 5.3.6.2

Moltiplica $2$ per $0.5$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot (\frac{t}{26})$

Passaggio 5.3.7

Semplifica.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = t$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (t)) = t$ e $f (f^{- 1} (t)) = t$ , allora $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ è l'inverso di $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$