Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ come un'equazione.

$y = \frac{8 x}{x - 4}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{8 y}{y - 4}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 4$ .

$(y - 4) (x) = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 4 x = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 4 x = \frac{8 y}{y - 4} (y - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 4 x = 8 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 4 x - 8 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $4 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 8 y = 4 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - 8 y = 4 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- 8 y$ .

$y (x) + y \cdot - 8 = 4 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 8$ .

$y (x - 8) = 4 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 8$ ciascun termine in $y (x - 8) = 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 8$ ciascun termine in $y (x - 8) = 4 x$ .

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 x}{x - 8}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{(\frac{8 x}{x - 4}) - 8}$

Passaggio 5.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $4$ da $\frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) - 8}$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) + 4 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $4$ da $4 \frac{2 x}{x - 4} + 4 (- 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{\frac{8 x}{x - 4}}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2 \cdot \frac{x - 4}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.2

$- 2$ e $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} + \frac{- 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4

Riscrivi $\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1

Scomponi $2$ da $2 x - 2 (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (x - 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 4))}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- (x - 4))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - (x - 4))}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 4)}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.4.5

Somma $0$ e $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.5.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{8}{x - 4}}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot (1 (\frac{x - 4}{8}))$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $\frac{x - 4}{8}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 (x)}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Passaggio 5.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Passaggio 5.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{4 x}{x - 8})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (\frac{4 x}{x - 8})}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $(\frac{4 x}{x - 8}) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $8 (\frac{4 x}{x - 8})$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) - 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) + 4 (- 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 \frac{x}{x - 8} + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 8})}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

$2$ e $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.2

$- 1$ e $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - (x - 8)}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x - 8)}{x - 8}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{0 + 8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Somma $0$ e $8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (x)}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$