Precalcolo Esempi

$4 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = 4 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$

Passaggio 2

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(2 - 2)$ ).

Radici positive: $2$ o $0$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{4} - 3 {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4

Semplifica il polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{4} - 3 {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 3 {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{4}) - 3 {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 3 {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = 4 x^{4} - 3 (- x^{3}) + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 3 x^{3} + 3 {(- x)}^{2} - x + 3$

Passaggio 4.2.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 3 x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x + 3$

Passaggio 4.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (1 x^{2}) - x + 3$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 3$

Passaggio 5

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $2$ o $0$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $2$ o $0$

Radici negative: $2$ o $0$