Precalcolo Esempi

$4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = 4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Passaggio 2

Poiché ci sono $5$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $5$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(5 - 2)$ ).

Radici positive: $5$ , $3$ , or $1$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{10} x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $10$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{10}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 ({(- 1)}^{9} x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $9$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 (- x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 ({(- 1)}^{8} x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $8$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 (1 x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.9

Moltiplica $x^{8}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 ({(- 1)}^{7} x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 (- x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.12

Moltiplica $- 1$ per $127$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.13

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 ({(- 1)}^{6} x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 (1 x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.15

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.16

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.17

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 (- x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.18

Moltiplica $- 1$ per $- 533$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.19

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.20

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 (1 x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.21

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.22

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.23

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 (- x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.24

Moltiplica $- 1$ per $- 487$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.25

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.26

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 (1 x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.27

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 (- x) - 108$

Passaggio 4.28

Moltiplica $- 1$ per $153$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} - 153 x - 108$

Passaggio 5

Poiché ci sono $5$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $5$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $5 - 2$ ).

Radici negative: $5$ , $3$ , or $1$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $5$ , $3$ , or $1$ e il numero di radici negative possibili è $5$ , $3$ , or $1$ .

Radici positive: $5$ , $3$ , or $1$

Radici negative: $5$ , $3$ , or $1$