Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.8

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Passaggio 4.1.10

$- 23$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 23}{2} + 12$

Passaggio 4.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{23}{2} + 12$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 + \frac{1 - 3}{4} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$12 + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $12$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{12}{1} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{- 23}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{- 23}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 \cdot 4 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$\frac{48 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 23$ per $2$ .

$\frac{48 - 2 - 46}{4}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Sottrai $2$ da $48$ .

$\frac{46 - 46}{4}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $46$ da $46$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 4.6.3

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$	$- 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 23)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 24)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + - 2 x - 24$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} - 2 x - 24$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 2 x - 24)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12))$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x) + 2 (- 12))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x - 12))$

Passaggio 8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x + 3)))$

Passaggio 8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x + 3))$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Scomponi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 9.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 9.1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 9.1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.6

Sottrai $0.75$ da $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.7

Moltiplica $- 23$ per $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Passaggio 9.1.3.8

Sottrai $11.5$ da $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 9.1.3.9

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 9.1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Passaggio 9.1.5

Dividi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 9.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Passaggio 9.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Passaggio 9.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 9.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 9.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 9.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Passaggio 9.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Passaggio 9.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 9.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 9.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Passaggio 9.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Passaggio 9.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 24 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Passaggio 9.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Passaggio 9.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 24 x + 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Passaggio 9.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 9.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 12$

Passaggio 9.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) (x^{2} - x - 12) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 9.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Passaggio 9.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 11

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 13

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 4, - 3$

Passaggio 15