Precalcolo Esempi

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $13$ per $1$ .

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 27$ per $1$ .

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $12$ da $13$ .

$1 - 27 + 24 + 2$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $27$ da $1$ .

$- 26 + 24 + 2$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 26$ e $24$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(13)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(13)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 13)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 27)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 26)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(26)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 24)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $13 x - 1$ .

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 24 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 9.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 9.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ e la cui somma è $b = - 27$ .

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Passaggio 9.5.1.1

Scomponi $- 27$ da $- 27 u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Passaggio 9.5.1.2

Riscrivi $- 27$ come $- 1$ più $- 26$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

Passaggio 9.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Passaggio 9.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Passaggio 9.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

Passaggio 9.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $13 u - 1$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

Passaggio 9.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.7

Scomponi $x^{2} - 2$ da $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

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Passaggio 9.7.1

Scomponi $x^{2} - 2$ da $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.7.2

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 9.7.3

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 9.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

Passaggio 9.9

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 9.9.1

Riordina i termini.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

Passaggio 9.9.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ e la cui somma è $b = 12$ .

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Passaggio 9.9.2.1

Scomponi $12$ da $12 u$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

Passaggio 9.9.2.2

Riscrivi $12$ come $- 1$ più $13$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

Passaggio 9.9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

Passaggio 9.9.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.9.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

Passaggio 9.9.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

Passaggio 9.9.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $13 u - 1$ .

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 9.10

Scomponi.

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Passaggio 9.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

Passaggio 9.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 12

Imposta $13 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $13 x - 1$ uguale a $0$ .

$13 x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $13 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$13 x = 1$

Passaggio 12.2.2

Dividi per $13$ ciascun termine in $13 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 12.2.2.1

Dividi per $13$ ciascun termine in $13 x = 1$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Passaggio 12.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $13$ .

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Passaggio 12.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Passaggio 12.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{13}$

Passaggio 13

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Forma decimale:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

Passaggio 16