Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.8

$- 13$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.13.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.14

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Passaggio 4.1.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

Passaggio 4.1.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

Passaggio 4.1.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $13$ da $1$ .

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $- 32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{- 32}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{- 32}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $32$ per $8$ .

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 32$ per $8$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sottrai $256$ da $256$ .

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$\frac{- 12 + 12}{8}$

Passaggio 4.6.3

Somma $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 12)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(64)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(64)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(32)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 12 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $64$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Raggruppa i termini.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $32$ da $64 x - 32$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $32$ da $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.2.2

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.2.3

Scomponi $32$ da $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 8.3.3

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Passaggio 8.3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Passaggio 8.3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi.

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Passaggio 8.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e la cui somma è $b = - 13$ .

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Passaggio 8.4.1.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi $- 13$ come $- 1$ più $- 12$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Passaggio 8.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Passaggio 8.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Passaggio 8.4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 8.4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Passaggio 8.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Passaggio 8.5

Scomponi $2 x - 1$ da $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Passaggio 8.5.1

Scomponi $2 x - 1$ da $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Passaggio 8.5.2

Scomponi $2 x - 1$ da $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Passaggio 8.5.3

Scomponi $2 x - 1$ da $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Passaggio 8.6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Passaggio 8.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Passaggio 8.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Passaggio 8.7.2

Somma $2$ e $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Passaggio 8.8

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Passaggio 8.9

Riordina i termini.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Passaggio 8.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1

Riscrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1.1

Scomponi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 8.10.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 8.10.1.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 8.10.1.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Passaggio 8.10.1.1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Passaggio 8.10.1.1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Passaggio 8.10.1.1.3.5

Sottrai $24$ da $- 8$ .

$- 32 + 32$

Passaggio 8.10.1.1.3.6

Somma $- 32$ e $32$ .

$0$

Passaggio 8.10.1.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Passaggio 8.10.1.1.5

Dividi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 8.10.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 8.10.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 8.10.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.10.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.10.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 8.10.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 8.10.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Passaggio 8.10.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Passaggio 8.10.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Passaggio 8.10.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 8.10.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Passaggio 8.10.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Passaggio 8.10.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 8.10.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 8.10.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 8.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 12

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Passaggio 14