Precalcolo Esempi

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 14$ per $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ e $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $14$ da $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $36$ da $- 9$ .

$- 45 + 45$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 45$ e $45$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 9)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 9)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 45)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 45)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Passaggio 9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Passaggio 11

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 11.1

Raggruppa i termini.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 36 x$ .

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.4

Scomponi.

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Passaggio 11.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 11.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Passaggio 11.7

Scomponi $u^{2} - 14 u + 45$ usando il metodo AC.

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Passaggio 11.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $45$ e la cui somma è $- 14$ .

$- 9, - 5$

Passaggio 11.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Passaggio 11.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.11

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

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Passaggio 11.11.1

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.11.2

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.12

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Passaggio 11.13

Scomponi $4 u + u^{2} - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 11.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 11.13.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Passaggio 11.14

Scomponi.

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Passaggio 11.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Passaggio 11.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 13

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 14

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 15

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 15.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 15.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 16

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 16.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 16.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 17

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ vera.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Passaggio 18