Precalcolo Esempi

$x^{4} - 1$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{4} - 1$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x + 1$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + x^{2} + x + 1$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2}) + x + 1$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

Passaggio 9

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} = 1$

Passaggio 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Passaggio 11

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 12

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 12.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 12.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 13