Precalcolo Esempi

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(4)}^{4} - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$256 - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$256 - 8 \cdot 64 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 8$ per $64$ .

$256 - 512 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$256 - 512 + 17 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $17$ per $16$ .

$256 - 512 + 272 - 8 \cdot 4 + 16$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$256 - 512 + 272 - 32 + 16$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $512$ da $256$ .

$- 256 + 272 - 32 + 16$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 256$ e $272$ .

$16 - 32 + 16$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $32$ da $16$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 8)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(- 16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(17)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 8)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(- 16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(16)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 4) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 4) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x - 4) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x - 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 9.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $u^{2} + 17 u + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $16$ e la cui somma è $17$ .

$1, 16$

Passaggio 9.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

Passaggio 9.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 9.7

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

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Passaggio 9.7.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 9.7.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 9.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

Passaggio 9.9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 9.9.1

Rimetti in ordine i termini.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Passaggio 9.9.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Passaggio 9.9.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Passaggio 9.9.4

Riscrivi il polinomio.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 9.9.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 4$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 9.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 12

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 12.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = i, - i, 4$

Passaggio 14