Precalcolo Esempi

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 36$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} + 9 (4) - 36$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} + 9 (4) - 36$

Passaggio 4.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 + 9 (4) - 36$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$64 - 64 + 9 (4) - 36$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$64 - 64 + 36 - 36$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $64$ da $64$ .

$0 + 36 - 36$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$36 - 36$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 36}{x - 4}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(9)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$9$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 36)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$	$0$	$36$
	$1$	$0$	$9$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$- 4$	$9$	$- 36$
		$4$	$0$	$36$
	$1$	$0$	$9$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 0 x + 9$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 9$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 7.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 7.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 7.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 7.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 7.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 4) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 36$ .

$x = 4, 3 i, - 3 i$

Passaggio 10