Precalcolo Esempi

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

Passaggio 4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$8 - 24 + 24 - 8$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 24 - 8$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 16$ e $24$ .

$8 - 8$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $8$ da $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 6)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 7

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

Passaggio 7.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Passaggio 7.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 8.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 8.1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 8.1.3.5

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 8.1.3.6

Moltiplica $12$ per $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Passaggio 8.1.3.7

Somma $- 16$ e $24$ .

$8 - 8$

Passaggio 8.1.3.8

Sottrai $8$ da $8$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Passaggio 8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 8.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 8.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 8.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 8.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 8.3.3

Somma $1$ e $2$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Passaggio 9

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 10

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 11