Precalcolo Esempi

$x^{3} - 125$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(5)}^{3} - 125$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 125$

Passaggio 4.2

Sottrai $125$ da $125$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$	$5$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(25)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(25)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(125)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 125)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 5 x + 25$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 5 x + 25$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.4.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.4.5

Scomponi $- 1$ da $5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 7.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 7.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.5.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.5.5

Scomponi $- 1$ da $- 5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 7.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 7.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 5) (x + \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} - 125$ .

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10