Precalcolo Esempi

$5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5, \pm 25$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$5 {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $5$ per ${(5)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $5$ per ${(5)}^{3}$ .

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Passaggio 4.1.1.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$5^{1} {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Passaggio 4.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5^{1 + 3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$5^{4} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Passaggio 4.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$625 - 26 {(5)}^{2} + 25$

Passaggio 4.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$625 - 26 \cdot 25 + 25$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 26$ per $25$ .

$625 - 650 + 25$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $650$ da $625$ .

$- 25 + 25$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 25$ e $25$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{5 x^{3} - 26 x^{2} + 25}{x - 5}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(5)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

	$5$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(25)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 26)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$	$- 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(- 5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 5)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(- 25)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(25)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$5 x^{2} + - 1 x - 5$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$5 x^{2} - x - 5$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 5$ , $b = - 1$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 5)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.3.1.3

Somma $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.4.1.3

Somma $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 7.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.5.1.3

Somma $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 7.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 5) (x - \frac{1 + \sqrt{101}}{10}) (x - \frac{1 - \sqrt{101}}{10})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$ .

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Forma decimale:

$x = 5, 1.10498756 \dots, - 0.90498756 \dots$

Passaggio 11