Precalcolo Esempi

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.5

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $4$ da $52$ .

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.9.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.10

$13$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.14

$- 45$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 4.1.16

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $45$ da $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $13$ e $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{18}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{18}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $40$ da $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Passaggio 4.5.3

Somma $- 36$ e $36$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 4.5.4

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(20)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(20)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(10)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(62)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(31)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 14)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $20 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $62 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 14 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $- 0.1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $- 0.1$ nel polinomio.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $20$ per $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.4

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.5

Moltiplica $52$ per $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.6

Sottrai $0.052$ da $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.7

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.8

Moltiplica $- 45$ per $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.9

Sottrai $0.45$ da $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Passaggio 8.1.3.10

Moltiplica $5$ per $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Passaggio 8.1.3.11

Sottrai $0.5$ da $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 8.1.3.12

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 0.1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $10 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ per $10 x + 1$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x^{4} + 2 x^{3}$

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $50 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $50 x^{3} + 5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 50 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 50 x^{2} - 5 x$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Passaggio 8.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x + 1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Passaggio 8.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ come insieme di fattori.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 8.2.1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.5

Moltiplica $5$ per $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.6

Somma $0.25$ e $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.7

Moltiplica $- 5$ per $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.8

Sottrai $2.5$ da $1.5$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.9

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 8.2.1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Passaggio 8.2.1.5

Dividi $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ per $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 8.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Passaggio 8.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 8.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 8.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 8.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 8.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 8.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 8.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 8.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Passaggio 8.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 8.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 8.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 8.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 1$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Passaggio 8.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 8.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 3 x - 1$

Passaggio 8.2.1.6

Scrivi $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ come insieme di fattori.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $10 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $10 x + 1$ uguale a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $10 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 1$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{10}$

Passaggio 11

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Imposta $x^{2} + 3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{2} + 3 x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.3

Somma $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.4.1.3

Somma $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Passaggio 12.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Passaggio 12.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.1.3

Somma $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Passaggio 12.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Passaggio 12.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forma decimale:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Passaggio 15