Precalcolo Esempi

$x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 7$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 7$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$- 343 + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$- 343 + 14 \cdot 49 + 48 (- 7) - 7$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $14$ per $49$ .

$- 343 + 686 + 48 (- 7) - 7$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $48$ per $- 7$ .

$- 343 + 686 - 336 - 7$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 343$ e $686$ .

$343 - 336 - 7$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $336$ da $343$ .

$7 - 7$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $7$ da $7$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 7$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 7$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7}{x + 7}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(- 7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(14)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$	$7$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(7)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(- 49)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(48)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$	$- 1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 7 x - 1$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 7 x - 1$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 7$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Somma $49$ e $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Somma $49$ e $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.4.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.4.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{53})}{2}$

Passaggio 7.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{53})}{2}$

Passaggio 7.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Somma $49$ e $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.5.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{53})}{2}$

Passaggio 7.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - (\sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{53})}{2}$

Passaggio 7.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 7) (x + \frac{7 - \sqrt{53}}{2}) (x + \frac{7 + \sqrt{53}}{2})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$ .

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Forma decimale:

$x = - 7, 0.14005494 \dots, - 7.14005494 \dots$

Passaggio 11