Precalcolo Esempi

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi $4 a^{2} c^{2}$ come ${(2 a c)}^{2}$ .

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Passaggio 2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 a c$ e $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Raggruppa i termini.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = a$ e $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.1.3

Riordina $- b^{2}$ e ${(a + c)}^{2}$ .

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a + c$ e $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- - b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $b^{2}$ per $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Raggruppa i termini.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.4.1.2

Aggiungi le parentesi.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.4.1.3

Sia $u = a c$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $a c$ con $u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $2 u - a^{2} - c^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.4.1

Sposta $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Passaggio 3.4.1.4.2

Scomponi $- 1$ da $- a^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Passaggio 3.4.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- c^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Passaggio 3.4.1.4.4

Scomponi $- 1$ da $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Passaggio 3.4.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (a^{2}) - (c^{2})$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Passaggio 3.4.1.4.6

Scomponi $- 1$ da $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Passaggio 3.4.1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Passaggio 3.4.1.6

Rimuovi le parentesi.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Passaggio 3.4.1.7

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1

Rimetti in ordine i termini.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Passaggio 3.4.1.7.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Passaggio 3.4.1.7.3

Riscrivi il polinomio.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Passaggio 3.4.1.7.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = a$ e $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Passaggio 3.4.1.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = b$ e $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Passaggio 3.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Passaggio 3.4.1.9.2

Moltiplica $- - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Passaggio 3.4.1.9.2.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$