Precalcolo Esempi

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Passaggio 3

Sostituisci $- 0.\overline{6}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{6}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 0.\overline{6}$ nel polinomio.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.2

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.4

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 4$ per $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.6

Sottrai $1.\overline{7}$ da $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 3.7

Moltiplica $8$ per $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Passaggio 3.8

Sottrai $5.\overline{3}$ da $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Passaggio 3.9

Somma $- 8$ e $8$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $- 0.\overline{6}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8}{3 x + 2}$

Passaggio 5

Dividi $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ per $3 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$8$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 4$

Passaggio 6

Scrivi $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ come insieme di fattori.

$(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$