Precalcolo Esempi

$3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$

Passaggio 1

Scomponi $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $0.01234567$ .

$0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$0.\overline{037} + 4 \cdot - 0.\overline{037} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $4$ per $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 0.\overline{148} - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $0.\overline{148}$ da $0.\overline{037}$ .

$- 0.11111111 - 23 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.7

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.11111111 - 23 \cdot 0.\overline{1} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 23$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.11111111 - 2.\overline{5} - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $2.\overline{5}$ da $- 0.11111111$ .

$- 2.66666666 - 44 \cdot - 0.\overline{3} - 12$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 44$ per $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.66666666 + 14.\overline{6} - 12$

Passaggio 1.3.11

Somma $- 2.66666666$ e $14.\overline{6}$ .

$12 - 12$

Passaggio 1.3.12

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12}{3 x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 24 x^{2} - 8 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$4 x^{3}$

$23 x^{2}$

$44 x$

$12$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$23 x^{2}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$24 x^{2}$

$44 x$

$24 x^{2}$

$8 x$

$36 x$

$12$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 36 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									-	$36 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 36 x - 12$

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	-	$44 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$23 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
							-	$24 x^{2}$	-	$44 x$
							+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$36 x$	-	$12$
									+	$36 x$	+	$12$
												$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Passaggio 1.6

Scrivi $3 x^{4} + 4 x^{3} - 23 x^{2} - 44 x - 12$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 2.3.4

Somma $- 8$ e $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Passaggio 2.3.6

Somma $- 4$ e $16$ .

$12 - 12$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 6$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 6))$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(3 x + 1) ((x + 2) ((x - 3) (x + 2)))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 1) ((x + 2) (x - 3) (x + 2))$

Passaggio 4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 3))$

Passaggio 4.1.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 3))$

Passaggio 4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3))$

Passaggio 4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(3 x + 1) ({(x + 2)}^{2} (x - 3))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 1) {(x + 2)}^{2} (x - 3)$