Precalcolo Esempi

$6 x^{3} + 22 x^{2} + 10 x - 6$

Passaggio 1

Scomponi $2$ da $6 x^{3} + 22 x^{2} + 10 x - 6$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{3}$ .

$2 (3 x^{3}) + 22 x^{2} + 10 x - 6$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $22 x^{2}$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 10 x - 6$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (5 x) - 6$

Passaggio 1.4

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 (- 3)$

Passaggio 1.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2})$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 (- 3)$

Passaggio 1.6

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x) + 2 (- 3)$

Passaggio 1.7

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x) + 2 (- 3)$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3)$

Passaggio 2

Scomponi $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 3$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$3 {(- 1)}^{3} + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 1 + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 3 + 11 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $11$ per $1$ .

$- 3 + 11 + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.6

Somma $- 3$ e $11$ .

$8 + 5 \cdot - 1 - 3$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$8 - 5 - 3$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $5$ da $8$ .

$3 - 3$

Passaggio 2.3.9

Sottrai $3$ da $3$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$3$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{2} + 8 x$

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x - 3$

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Passaggio 2.6

Scrivi $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ come insieme di fattori.

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + 8 x - 3))$

Passaggio 3

Scomponi.

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Passaggio 3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e la cui somma è $b = 8$ .

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Passaggio 3.1.1.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + 8 (x) - 3))$

Passaggio 3.1.1.1.2

Riscrivi $8$ come $- 1$ più $9$ .

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3))$

Passaggio 3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x + 1) (3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3))$

Passaggio 3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((x + 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3))$

Passaggio 3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((x + 1) (x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)))$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$2 ((x + 1) ((3 x - 1) (x + 3)))$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((x + 1) (3 x - 1) (x + 3))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 1) (3 x - 1) (x + 3)$