Precalcolo Esempi

$6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$

Passaggio 1

Scomponi $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 30, \pm 5, \pm 15, \pm 10, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 1.\overline{6}, \pm 3.\overline{3}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1.5$ nel polinomio.

$6 \cdot {1.5}^{4} - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1.5$ alla potenza di $4$ .

$6 \cdot 5.0625 - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $6$ per $5.0625$ .

$30.375 - 29 \cdot {1.5}^{3} - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1.5$ alla potenza di $3$ .

$30.375 - 29 \cdot 3.375 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 29$ per $3.375$ .

$30.375 - 97.875 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $97.875$ da $30.375$ .

$- 67.5 - 32 \cdot {1.5}^{2} + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.7

Eleva $1.5$ alla potenza di $2$ .

$- 67.5 - 32 \cdot 2.25 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 32$ per $2.25$ .

$- 67.5 - 72 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $72$ da $- 67.5$ .

$- 139.5 + 73 \cdot 1.5 + 30$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $73$ per $1.5$ .

$- 139.5 + 109.5 + 30$

Passaggio 1.3.11

Somma $- 139.5$ e $109.5$ .

$- 30 + 30$

Passaggio 1.3.12

Somma $- 30$ e $30$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30}{2 x - 3}$

Passaggio 1.5

Dividi $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ per $2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{4} - 9 x^{3}$

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x^{3}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x^{3} + 30 x^{2}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 62 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 62 x^{2} + 93 x$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

$30$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$10$

$2 x$

$3$

$6 x^{4}$

$29 x^{3}$

$32 x^{2}$

$73 x$

$30$

$6 x^{4}$

$9 x^{3}$

$20 x^{3}$

$32 x^{2}$

$20 x^{3}$

$30 x^{2}$

$62 x^{2}$

$73 x$

$62 x^{2}$

$93 x$

$20 x$

$30$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									-	$20 x$	+	$30$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x + 30$

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									+	$20 x$	-	$30$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
$2 x$	-	$3$		$6 x^{4}$	-	$29 x^{3}$	-	$32 x^{2}$	+	$73 x$	+	$30$
			-	$6 x^{4}$	+	$9 x^{3}$
					-	$20 x^{3}$	-	$32 x^{2}$
					+	$20 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
							-	$62 x^{2}$	+	$73 x$
							+	$62 x^{2}$	-	$93 x$
									-	$20 x$	+	$30$
									+	$20 x$	-	$30$
												$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$

Passaggio 1.6

Scrivi $6 x^{4} - 29 x^{3} - 32 x^{2} + 73 x + 30$ come insieme di fattori.

$(2 x - 3) (3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10)$

Passaggio 2

Scomponi $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 1.\overline{6}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1.\overline{6}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 1.\overline{6}$ nel polinomio.

$3 {(- 1.\overline{6})}^{3} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 1.\overline{6}$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 4.\overline{629} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4.\overline{629}$ .

$- 13.\overline{8} - 10 {(- 1.\overline{6})}^{2} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $- 1.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$- 13.\overline{8} - 10 \cdot 2.\overline{7} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 10$ per $2.\overline{7}$ .

$- 13.\overline{8} - 27.\overline{7} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.6

Sottrai $27.\overline{7}$ da $- 13.\overline{8}$ .

$- 41.\overline{6} - 31 \cdot - 1.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $- 31$ per $- 1.\overline{6}$ .

$- 41.\overline{6} + 51.\overline{6} - 10$

Passaggio 2.1.3.8

Somma $- 41.\overline{6}$ e $51.\overline{6}$ .

$10 - 10$

Passaggio 2.1.3.9

Sottrai $10$ da $10$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1.\overline{6}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10}{3 x + 5}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ per $3 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$5$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$31 x$

$10$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			+	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$25 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x^{2} - 25 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							-	$6 x$	-	$10$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 10$

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							+	$6 x$	+	$10$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$3 x$	+	$5$		$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$31 x$	-	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$6 x$	-	$10$
							+	$6 x$	+	$10$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 5 x - 2$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $3 x^{3} - 10 x^{2} - 31 x - 10$ come insieme di fattori.

$(2 x - 3) ((3 x + 5) (x^{2} - 5 x - 2))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 3) (3 x + 5) (x^{2} - 5 x - 2)$