Precalcolo Esempi

$5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 12, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 4, \pm 0.8$

Passaggio 3

Sostituisci $0.8$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.8$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0.8$ nel polinomio.

$5 \cdot {0.8}^{3} - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Passaggio 3.2

Eleva $0.8$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot 0.512 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Passaggio 3.3

Moltiplica $5$ per $0.512$ .

$2.56 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

Passaggio 3.4

Eleva $0.8$ alla potenza di $2$ .

$2.56 - 24 \cdot 0.64 + 0.8 + 12$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 24$ per $0.64$ .

$2.56 - 15.36 + 0.8 + 12$

Passaggio 3.6

Sottrai $15.36$ da $2.56$ .

$- 12.8 + 0.8 + 12$

Passaggio 3.7

Somma $- 12.8$ e $0.8$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 3.8

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $0.8$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12}{5 x - 4}$

Passaggio 5

Dividi $5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ per $5 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 x$

$4$

$5 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$12$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$5 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							-	$15 x$	+	$12$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x + 12$

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x - 3$

Passaggio 6

Scrivi $5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ come insieme di fattori.

$(5 x - 4) (x^{2} - 4 x - 3)$