Precalcolo Esempi

$P (x) = 12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$

Passaggio 1

Imposta $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{4} - 20 \cdot 0.\overline{1} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $- 20$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} - 2.\overline{2} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai $2.\overline{2}$ da $- 0.\overline{4}$ .

$- 2.\overline{6} - 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sottrai $0.\overline{3}$ da $- 2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3}{3 x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$3$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 24 x^{2} - 8 x$

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x + 3$

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{2} - 8 x + 3$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 8$ come $- 2$ più $- 6$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Passaggio 3