Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

Passaggio 1

Imposta $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ uguale a $0$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$x^{2}$ e $\frac{13}{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Sposta $13$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{13 x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i termini.

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 16 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $- 8 x$ da $- 16 x^{3}$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 2.2.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ e la cui somma è $b = - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5.1.2

Riscrivi $- 13$ come $1$ più $- 14$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Passaggio 2.2.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

Passaggio 2.2.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Passaggio 2.2.7

Scomponi $2 x^{2} + 1$ da $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $2 x^{2} + 1$ da $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Passaggio 2.2.7.2

Scomponi $2 x^{2} + 1$ da $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

Passaggio 2.2.8

Riordina i termini.

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 2.4.2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.4.2.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 8 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 8 x - 7$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = - 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Somma $64$ e $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $92$ come $2^{2} \cdot 23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Passaggio 2.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ vera.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Passaggio 3