Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$ uguale a $0$ .

$2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$3 x^{3} - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3} - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e la cui somma è $b = - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 5$ più $- 6$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15 = 0$

Passaggio 2.1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Passaggio 2.1.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 x (x^{2} - 3) + u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 5$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 u - 5) (u - 3) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} - 3$ da $3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} - 3$ da $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} - 3$ da $(2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x^{2} - 3$ da $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + 2 x^{2} - 5) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} - 3) (3 u + 2 u^{2} - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Riordina i termini.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 u - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 (u) - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9.2.2

Riscrivi $3$ come $- 2$ più $5$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 2 + 5) u - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 2 u + 5 u - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 2 u) + 5 u - 5) = 0$

Passaggio 2.1.9.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} - 3) (2 u (u - 1) + 5 (u - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((u - 1) (2 u + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x + 5$ uguale a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$ vera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Forma decimale:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 1, - 2.5$

Forma numero misto:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 2 \frac{1}{2}$

Passaggio 4