Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$

Passaggio 1

Imposta $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ uguale a $0$ .

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{6}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{6}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{6}$ nel polinomio.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 4$ per $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.6

Sottrai $1.\overline{7}$ da $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $8$ per $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $5.\overline{3}$ da $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Passaggio 2.1.3.9

Somma $- 8$ e $8$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 0.\overline{6}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8}{3 x + 2}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ per $3 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$8$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							+	$12 x$	+	$8$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 4$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ come insieme di fattori.

$(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 3