Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{1} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{1} + 4 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.5

Moltiplica $4$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{1} + 0.\overline{4} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.6

Somma $- 0.\overline{1}$ e $0.\overline{4}$ .

$0.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.7

Moltiplica $4$ per $- 0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 1.\overline{3} + 1$

Passaggio 1.2.2.3.8

Sottrai $1.\overline{3}$ da $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 1.2.2.3.9

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 1}$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$1$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 1.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 1.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Passaggio 1.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Passaggio 1.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x + 1$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 1.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 1.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x + 1$

Passaggio 1.2.2.6

Scrivi $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $x^{2} + x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 (0) + 1$

Passaggio 2.2.4.1.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 1$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 1$

Passaggio 2.2.4.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$y = 1$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, 1)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, 1)$

Passaggio 4