Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22 = 0$ .

$x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.2.2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 10 \cdot 1 - 13 \cdot - 1 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.4

Moltiplica $10$ per $1$ .

$- 1 + 10 - 13 \cdot - 1 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.5

Somma $- 1$ e $10$ .

$9 - 13 \cdot - 1 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.6

Moltiplica $- 13$ per $- 1$ .

$9 + 13 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.7

Somma $9$ e $13$ .

$22 - 22$

Passaggio 1.2.2.1.3.8

Sottrai $22$ da $22$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2.1.5

Dividi $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} + 9 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$

Passaggio 1.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 22 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							-	$22 x$	-	$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 22 x - 22$

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$

Passaggio 1.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$
										$0$

Passaggio 1.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 9 x - 22$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scrivi $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} + 9 x - 22) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x^{2} + 9 x - 22$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 9 x - 22$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 22$ e la cui somma è $9$ .

$- 2, 11$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) ((x - 2) (x + 11)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 2) (x + 11) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 11 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 2) (x + 11) = 0$ vera.

$x = - 1, 2, - 11$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(- 1, 0), (2, 0), (- 11, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 10 \cdot 0^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ${(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $10$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 13 \cdot 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $- 13$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 22$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sottrai $22$ da $0$ .

$y = - 22$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 22)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(- 1, 0), (2, 0), (- 11, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 22)$

Passaggio 4