Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

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Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 13 u - 48 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $u^{2} + 13 u - 48$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $13$ .

$- 3, 16$

Passaggio 1.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 16 = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 1.2.6

Imposta $u + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $u + 16$ uguale a $0$ .

$u + 16 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 16$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 3) (u + 16) = 0$ vera.

$u = 3, - 16$

Passaggio 1.2.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Passaggio 1.2.9

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 3$

Passaggio 1.2.10

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.10.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.10.2.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.10.2.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.10.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.11

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Passaggio 1.2.12

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 1.2.12.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 16$

Passaggio 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Passaggio 1.2.12.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Passaggio 1.2.12.3.1

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Passaggio 1.2.12.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Passaggio 1.2.12.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Passaggio 1.2.12.3.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 1.2.12.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 4$

Passaggio 1.2.12.3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 4 i$

Passaggio 1.2.12.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.12.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4 i$

Passaggio 1.2.12.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4 i$

Passaggio 1.2.12.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4 i, - 4 i$

Passaggio 1.2.13

La soluzione di $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ è $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

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Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} + 13 \cdot 0^{2} - 48$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ${(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 13 {(0)}^{2} - 48$

Passaggio 2.2.4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 13 \cdot 0 - 48$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $13$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 48$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 48$

Passaggio 2.2.4.2.2

Sottrai $48$ da $0$ .

$y = - 48$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 48)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 48)$

Passaggio 4