Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 8 \cdot 1 + 19 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- 1 + 8 + 19 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.5

Somma $- 1$ e $8$ .

$7 + 19 \cdot - 1 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.6

Moltiplica $19$ per $- 1$ .

$7 - 19 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.7

Sottrai $19$ da $7$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 2.2.1.3.8

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 2.2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}{x + 1}$

Passaggio 2.2.1.5

Dividi $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$19 x$

$12$

Passaggio 2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$

Passaggio 2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Passaggio 2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Passaggio 2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Passaggio 2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{2} + 7 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$

Passaggio 2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Passaggio 2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 12$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Passaggio 2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 7 x + 12$

Passaggio 2.2.1.6

Scrivi $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} + 7 x + 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{2} + 7 x + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 7 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $7$ .

$3, 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ vera.

$x = - 1, - 3, - 4$

Passaggio 2.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$x > - 1$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{3} + 8 {(- 6)}^{2} + 19 (- 6) + 12 \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 30$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3.5$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3.5$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3.5)}^{3} + 8 {(- 3.5)}^{2} + 19 (- 3.5) + 12 \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $0.625$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 19 (- 2) + 12 \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.9.4.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 19 (0) + 12 \geq 0$

Passaggio 2.9.4.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 \leq x \leq - 3$ o $x \geq - 1$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 4, - 3] \cup [- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | - 4 \leq x \leq - 3, x \geq - 1}$

Passaggio 4