Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ come ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = - 8$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 8 = 0$

Passaggio 2.3.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Passaggio 2.3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.3.6

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.3.6.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.6.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.6.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Passaggio 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \neq 5}$

Passaggio 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

Intervallo: $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

Passaggio 6