Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(3 y - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y x - x = 2 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y x - 2 y = x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $3 y x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $3 x - 2$ ciascun termine in $y (3 x - 2) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $3 x - 2$ ciascun termine in $y (3 x - 2) = x$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

$3$ e $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Passaggio 5.2.4.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3

$- 2$ e $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5

Riscrivi $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.5.1

Scomponi $2$ da $6 x - 2 (3 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.5.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.5

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5.6

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $\frac{3 x - 1}{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Passaggio 5.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x}{3 x - 2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

$2$ e $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

$3$ e $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$- 1$ e $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.4

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.4.5.5

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $3 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$