Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} - 1 = 2 x$

Passaggio 3.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} = 2 x + 1$

Passaggio 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

Passaggio 5.2.5

Espandi $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 1$ e $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Sottrai $1 x$ da $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.1.3

Somma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Combina i termini opposti in $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.3.1.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Passaggio 5.2.6.3.2.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Passaggio 5.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ e $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Moltiplica $\sqrt[3]{2 x + 1}$ per $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$